多数決の「妥当な解決策」について考えてみた。（その1）

大阪で、「大阪都構想」の是非を問う住民投票があったみたい。

これについては詳細を調べてないので、自分の意見を言うつもりはないんだけど、ツイッターを見ていて気になった呟きがあったので、それについて考えてみた。

気になった呟きというのは、これ。

真の民主主義を投票で実現するなら、なんでも白黒つけるんじゃ無くて獲得した割合だけの権限を全ての候補に与えるべきなんじゃなかろうか。50%ならお互いに譲歩した目標を立てるとかさ
— ricksong (@ricksong) 2015年5月17日

ハッとさせられる意見だけど、実際のところどうなのかなと思って、ちょっと考えてみた。

具体例から考える

まずは、具体的な例を挙げて考えるのがよさそう。

ここで取り扱うのは、次のような問題。

ある問題Pに関して、A案とB案が提案された。

この案はそれぞれ独立して実行可能だが、予算は限られているので、
　Xa: A案の実施率（単位は%）
　Xb: B案の実施率（単位は%）
としたときに、
　Xa + Xb ≦ 100
でなければならないとする。

投票を行った結果、
　Ca: A案の賛成率（単位は%）
　Cb: B案の賛成率（単位は%）
であった。（ただし、Ca + Cb = 100）

さて、この場合、XaおよびXbはどうあるべきか？

ケース1、(Ca, Cb) = (80, 20)の場合

提案された意見に従うなら、(Xa, Xb) = (80, 20)となる。

このとき、人々の満足度を計算してみると、A案に投票した人の満足度は80%、B案に投票した人の満足度は20%であるから、人口全体としての満足度は、

(0.8 * 0.8 + 0.2 * 0.2) * 100 = 68 [%]

となる。

一方、従来通りの多数決なら、(Xa, Xb) = (100, 0)となるわけだけど、このときの人口全体の満足度は、

(0.8 * 1 + 0.2 * 0) * 100 = 80 [%]

となる。

人口全体の満足度という観点で見ると、従来通りの方がよさそう・・・？

ケース2、(Ca, Cb) = (60, 40)の場合

ケース1のときと同様に計算してみる。

まず、人口全体としての満足度は、(Xa, Xb) = (60, 40)なら、

(0.6 * 0.6 + 0.4 * 0.4) * 100 = 52 [%]

(Xa, Xb) = (100, 0)なら、

(0.6 * 1 + 0.4 * 0) * 100 = 60 [%]

だいぶ差は縮まってるけど、やはり従来通りの方が上。

ケース3、(Ca, Cb) = (50, 50)の場合

同様に、(Xa, Xb) = (50, 50)なら、

(0.5 * 0.5 + 0.5 * 0.5) * 100 = 50 [%]

(Xa, Xb) = (100, 0)なら、

(0.5 * 1 + 0.5 * 0) * 100 = 50 [%]

ここで等価に。

数学的な分析

数学的に分析すると、これは次のような最適化問題になってる：

(Ca, Cb)が入力として与えられるとして、

${ \mbox{max.} \; C_a X_a + C_b X_b \\ \mbox{subject. to} \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; X_a + X_b \le 100 \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; X_a \ge 0 \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; X_b \ge 0 }$