ニューラルネットワークについて学んでみた。（その1）

ゲームのAIを強くするために、強化学習の関数近似で、深層学習（Deep Learning）を使えるようになりたいと思ってる。
なので、深層学習について、以下の本で勉強中。

深層学習 (機械学習プロフェッショナルシリーズ)

作者: 岡谷貴之
出版社/メーカー: 講談社
発売日: 2015/04/08
メディア: 単行本（ソフトカバー）
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とりあえず、まずは基本となるニューラルネットワークについて学んでみた。

なお、強化学習については、以下の記事を参照。

ニューラルネットワークの構成

ユニットの出力

ニューラルネットワークでは、ユニット（あるいはニューロン）と呼ばれる部品を互いに接続することで、ネットワークを構成する。

各ユニットは、入力 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{I}$ （ $I$ は入力の次元）を受け取り、出力 $y \in \mathbb{R}$ を返す。

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各ユニットには、バイアス $b \in \mathbb{R}$ と、入力に対する重み $\boldsymbol{w} \in \mathbb{R}^{I}$ 、そして活性化関数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ があり、次のように出力を得る。（活性化関数については明日）

図にすると、以下のとおり。

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多層ネットワーク

ニューラルネットワークのユニットの結合には、いろんな方法が考えられる。
よく使われるのは、ユニットのいくつかを1つの層にまとめて、複数の層を順番に並べ、一つ前の層の出力を次の層の入力にする構成。
一番最初の層を入力層、一番最後の層を出力層、途中の層を中間層（もしくは隠れ層）と呼び、 $l$ 層目 $(l = 1, 2, \cdots , L)$ のユニットの数を $J_l$ 、出力を $\boldsymbol{z}^{(l)} \in \mathbb{R}^{J_l}$ で表すことにすると、次のようになる。

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そして、入力層の出力 $\boldsymbol{z}^{(1)} \in \mathbb{R}^{J_1}$ はニューラルネットワークそのものに対する入力 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{J_1}$ として、出力層の出力 $\boldsymbol{z}^{(L)} \in \mathbb{R}^{J_L}$ をニューラルネットワークそのものによる出力 $\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{J_L}$ とする。

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また、 $l$ 層目 $(l = 2, \cdots, L)$ の $j$ 番目のユニット $(j = 1, 2, \cdots, J_l)$ の重みを $\boldsymbol{w}_j^{(l)} \in \mathbb{R}^{J_{l-1}}$ 、バイアスを $b_j^{(l)} \in \mathbb{R}$ 、活性化関数を $f^{(l)} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ とすると、各層の出力 $\boldsymbol{z}^{(l)} \in \mathbb{R}^{J_l}$ は、次のようになる：