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いものやま。

雑多な知識の寄せ集め

何かが「変わる」というのは、何かが「変わっていない」ということ。

哲学 数学

以前、『足の裏に影はあるか? ないか?』の感想を書いた。

そのとき、サラッと次のようなコメントを書いた。

ポイントは、「何かが『変わる』というのは、『変わっていない』部分があって初めて成り立つ」ということ。

昔のブログを見ていたらこのことへの言及があって、そういえば『哲学散歩道』にこのことは書かなかったなぁと思ったので、ここでちょっと書いておこうと思う。

ちなみに、書いたのは2004年の12月5日とか。
(ちょっと意味の分かりづらいところについては、加筆修正)


よく、

 A=B, B=C

ならば、論理的に

 A=C

と言われる。

これは「推移律」と呼ばれるもので、それ自体に関していろいろ議論があるかもしれないけど、ここではさらにその手前に存在する問題、そもそも、 A=Bという表現はなぜ可能なのか、という部分を考えていきたい。

まず、あるものがあるもの自身である( A=A)、というのは、当たり前。
意味がない言及とも言える。

けど、問題になるのは、 A=B
 A Bは等しい」という表現。

あまりに見慣れすぎてしまいその問題性に気がつきにくいけれど、もし A Bが「同じ」であるならば、 B Bと書く必要はない
 Aと書けばいい。
けど、 Bはあくまで Aではなく Bであるからこそ、 Bと書かれる。
すなわち、 =という記号は、「同じ」であることを意味をするけれど、実は A Bが「異なっている」からこそ、意味をもつ
奇妙な気がするだろうけれど、これは事実。

実際のところ、これは数学的観点で =(同値関係)の公理、

  1.  A=A
  2.  A=B \Rightarrow B=A
  3.  A=B, B=C \Rightarrow A=C

からすれば当然であり、というのも、 =という記号に「等しい」という意味はなく、それは集合の2つの要素に関して上の3つが成り立つ「関係」にすぎなくて、その比較される2つの要素が「同じ要素である」必要性はまったく存在しないから。

ちなみに言語における「カテゴリ」というのも、同じ単語で表されるという「同値関係」であり、すなわち「カテゴリ」とは「同値類」(同値な関係のものを集めた(部分)集合)ではないかな、と思う。

ただ、ここでより問題にしたいのは、むしろ最初に行われた奇妙な議論の方で、実はこれは重要な示唆を含んでいる。
それは、「時間を挟んでの =(等しい)、 \neq(等しくない)のこと」。
すなわち、「変化」というもの。

さて、数学的に上の議論を分析すれば、 A=Bが「意味のある言及」であるとはすなわち、 Aの同値類を C(A)としたときに、

(集合の要素として) A \neq B かつ  A∈C(A) かつ  B∈C(A)

ということを意味する。

これはすなわち、「ある2つの異なるもの A Bは、同じ性質を持っている」と言っていることになる。

そしてそれは、性質、つまり同値関係の与え方によって、 A=Bなのか A \neq Bなのかも変わってきてしまう、ということも意味する。
つまり、2つの異なったものを比べるとき、 =である性質と \neqである性質が同時にいくつも存在することになる。

で、「変化」について話を戻せば、よく「あの人は変わってしまった」とか言うわけだけれど、これはあくまで一性質について変わってしまった、ということに過ぎない。
というのも、もし全てのものが変わってしまったのであれば、どうしてその2つのものを比べることが出来るだろうか?

すなわち、何かが「変わる」というのは、何か「変わらないもの」があってこそ分かるわけだ。

(このあと、もうちょっと議論は続いてるんだけど、記号の使い方がかなり怪しくて、言いたいことを正しく表現できていないので、省略)


なお、最後の省略した議論についてちょっと書いておくと、例えばA君という人がいたとして、

  • 今のA君と10年後のA君を比べたときに、ガラッと変わっていた場合、それでも「A君である」というのは変わっていない。
  • もし仮に今のA君と10年後のA君がまったく変わっていなかったとしても、「そのA君の存在する時間」は変わっている。

というのを書きたかった。
(ただ、元の議論では2番目の主張をするために逆写像を使おうとしていて、その場合、逆写像の存在を上手く言う必要があるのだけど、全然言えていなかったし、正しく言おうとするとけっこう難しい・・・)

今日はここまで!